Gödel a-t-il prouvé que certaines vérités ne pourront jamais être démontrées ?

Pas tout à fait. Ce que Kurt Gödel a démontré en 1931 est plus précis, et d'une certaine façon plus étrange : tout ensemble cohérent de règles pour faire de l'arithmétique, du genre qu'un ordinateur pourrait vérifier, laisse des énoncés vrais sur les nombres que ces règles ne peuvent pas démontrer. Un second théorème ajoute qu'un tel système ne peut jamais démontrer sa propre cohérence. Il ne s'agit donc pas de vérités indémontrables par n'importe quelle méthode ; c'est qu'aucun règlement fixe ne peut capturer toute l'arithmétique.

Son astuce a été de faire parler les mathématiques d'elles-mêmes. Gödel a donné un numéro à chaque formule, si bien que les énoncés sur les démonstrations sont devenus des énoncés sur des nombres. Puis il a construit une phrase qui dit, en substance : « Je ne suis pas démontrable dans ce système. » Si le système est cohérent, il ne peut pas démontrer cette phrase, ce qui veut dire qu'elle est vraie. On pourrait croire qu'il suffit de l'ajouter comme nouvelle règle. C'est possible, mais le système agrandi a alors sa propre phrase indémontrable, et ainsi de suite, sans fin.

Le moment était spectaculaire. Lors d'un congrès à Königsberg en 1930, le grand mathématicien David Hilbert a prononcé un discours d'adieu soutenant que tout problème mathématique peut être résolu, et l'a conclu par « Nous devons savoir. Nous saurons ! ». Au même congrès, le jeune Gödel a annoncé son premier théorème. Presque personne n'y a prêté attention, sauf le brillant John von Neumann.

Ce que le théorème ne dit pas compte tout autant. Il ne dit pas que les mathématiques sont cassées, et il ne s'applique pas aux systèmes plus faibles : l'arithmétique avec l'addition mais sans la multiplication est complète. Les usages de Gödel hors de la logique, de la sociologie aux affirmations sur l'esprit humain, ont été vivement critiqués.