Certains infinis sont-ils plus grands que d'autres ?
Un hôtel plein aux chambres infinies peut toujours accueillir de nouveaux clients, et pourtant certaines foules infinies n'y entreront jamais.
▶ Lancer l'histoireOui. Au XIXe siècle, Georg Cantor a démontré que les nombres réels, tous les nombres à décimales infinies, sont plus nombreux que les nombres entiers 1, 2, 3... alors que les deux collections sont infinies. Sa méthode implique même qu'il existe une infinité d'infinis différents.
Pour comparer des ensembles infinis, on les apparie un à un. Certains infinis qui semblent différents s'avèrent de même taille. Imagine un hôtel aux chambres infinies, toutes occupées. Un nouveau client arrive ? On demande à chacun de passer de la chambre n à la chambre n+1 : il n'y a pas de dernière chambre, donc tout le monde trouve sa place, et la chambre 1 se libère. Une infinité de nouveaux clients ? Chacun passe de la chambre n à la chambre 2n, et toutes les chambres impaires se libèrent.
Étape 1: Une infinité de chambres, toutes occupées
Chambres 1, 2, 3... à l'infini.
Étape 2: Un nouveau client
Chacun passe de la chambre n à n+1 ; la chambre 1 est libre.
Étape 3: Une infinité de nouveaux clients
Chacun passe de la chambre n à 2n ; toutes les chambres impaires sont libres.
Étape 4: Toutes les suites infinies de 0 et de 1
Aucun plan de chambres ne marche : la diagonale en laisse toujours une dehors.
Mais certaines foules n'entrent jamais. Suppose que tu prétendes avoir listé toutes les suites infinies de 0 et de 1. Cantor fabrique une nouvelle suite en inversant le premier chiffre de la première suite, le deuxième chiffre de la deuxième, et ainsi de suite le long de la diagonale. La nouvelle suite diffère quelque part de chaque suite de ta liste : elle n'y figure donc pas. Aucune liste ne peut être complète : cet infini-là est plus grand.
L'idée était si choquante qu'un confrère, Leopold Kronecker, a traité Cantor de « corrupteur de la jeunesse ».
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Récap
Change le n-ième chiffre du n-ième élément de n'importe quelle liste, et tu obtiens quelque chose que la liste a oublié.
Le fait surprenant · Un hôtel plein aux chambres infinies peut encore accueillir une infinité de nouveaux clients.
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Sources (3)
Pas de source, pas d'affirmation. Chacun des 14 faits de cette leçon renvoie à au moins une de ces sources.