Comment un médecin antique a-t-il trouvé 63 façons de mélanger six saveurs ?

En prenant les six saveurs une par une, deux par deux, trois par trois, et ainsi de suite jusqu'aux six ensemble, puis en comptant chaque mélange. Le médecin indien Sushruta affirme dans le Sushruta Samhita, un traité médical qui a pris sa forme actuelle vers 500 de notre ère, que six saveurs différentes donnent 63 combinaisons. C'est exactement 2 puissance 6 moins 1 : chaque saveur est soit dans le mélange, soit absente, ce qui donne 64 possibilités, moins le seul « mélange » vide, sans aucune saveur. Sans la moindre notation moderne, le texte avait compté toutes les sélections possibles.

Pourquoi un médecin s'y intéressait-il ? Parce que la saveur faisait partie de la médecine. Le Sushruta Samhita et d'autres textes indiens anciens décrivent plus de 700 plantes médicinales, et ces descriptions indiquent la saveur de chaque plante, à côté de son aspect, de ses effets sur la digestion et de sa dose. Compter les mélanges de saveurs était une question de médecin, qui s'est révélée être aussi une question de mathématicien. Ce genre de question porte aujourd'hui un nom : la combinatoire, le domaine des mathématiques qui s'intéresse au comptage et aux propriétés des structures finies.

Des énigmes de comptage similaires apparaissent dans tout le monde antique et médiéval. Le plus ancien usage connu de techniques combinatoires vient du papyrus Rhind, en Égypte, datant du XVIe siècle avant notre ère. L'historien grec Plutarque a rapporté une dispute entre Chrysippe et Hipparque à propos d'un problème de comptage délicat. En Inde, le mathématicien Mahavira a donné des formules pour les permutations et les combinaisons vers l'an 850, et vers 1140, le rabbin Abraham ibn Ezra a établi une symétrie dans les nombres qu'on appelle aujourd'hui coefficients binomiaux, ceux qu'on range dans ce qu'on a fini par appeler le triangle de Pascal.

La combinatoire n'est devenue une branche indépendante des mathématiques qu'à la fin du XXe siècle. Pascal, Newton, Bernoulli et Euler en ont posé les fondations à la Renaissance, puis, dans la seconde moitié du XXe siècle, le domaine a grandi très vite, porté par ses liens avec l'algèbre, les probabilités et la théorie des nombres. Aujourd'hui, l'informatique s'en sert couramment pour analyser les algorithmes.