Comment un flocon peut-il avoir un contour infini mais une aire finie ?

Parce qu'à chaque fois qu'on ajoute des détails, le contour s'allonge d'un tiers, alors que l'aire ne gagne que des miettes de plus en plus petites. Pars d'un triangle équilatéral. Coupe chaque côté en trois parts égales, construis un petit triangle pointé vers l'extérieur sur la partie du milieu, et efface sa base. Tu obtiens une étoile à six branches. Recommence sur chaque nouveau côté, encore et encore, à l'infini. La limite, c'est le flocon de Koch.

À chaque tour, chaque morceau droit est remplacé par quatre morceaux trois fois plus courts : la longueur totale est multipliée par 4/3. Multiplie par 4/3 à l'infini, et le périmètre grandit sans limite. Mais les nouveaux triangles rapetissent très vite : chacun a une aire neuf fois plus petite que ceux du tour précédent. L'aire ajoutée forme une somme qui se tasse et finit à exactement 8/5 de celle du triangle de départ. Peinture finie, clôture infinie.

C'est le mathématicien suédois Helge von Koch qui a décrit cette courbe en 1904. Il voulait un objet étrange qu'on puisse vraiment voir : une courbe continue sans tangente nulle part, une ligne faite uniquement de coins. Les exemples précédents n'étaient que des formules ; celle de Koch se dessine, si bien que même l'« intuition naïve » peut la saisir. Ironie : le flocon complet n'est pas dans son article. Il n'en a dessiné qu'un côté, et le flocon fermé serait plutôt dû au mathématicien américain Edward Kasner.