Comment une forme peut-elle avoir 1,26 dimension ?

Parce qu'on peut définir la dimension par la façon dont une forme réagit quand on zoome, et que certaines formes réagissent entre deux. Réduis une règle au tiers de la longueur d'une ligne : 3 copies tiennent dessus. Réduis un carreau au tiers du côté d'un carré : 9 copies, 3 au carré, tiennent dedans. L'exposant, 1 pour la ligne et 2 pour le carré, c'est la dimension. La dimension fractale garde exactement cette règle, mais autorise l'exposant à être une fraction.

Prends maintenant la courbe de Koch. À chaque étape, chaque segment est remplacé par 4 segments, chacun trois fois plus court. Zoome d'un facteur 3 et tu trouves 4 copies du tout. Donc 3 puissance D doit valoir 4, et D vaut environ 1,26. La courbe est trop détaillée pour être une ligne, mais trop mince pour remplir une surface. Sa version en flocon enferme même une aire finie dans un périmètre infini.

La même recette marche pour d'autres formes célèbres. Le triangle de Sierpiński est fait de 3 copies de lui-même à moitié taille, ce qui donne environ 1,58. L'ensemble de Cantor, une ligne dont on retire encore et encore les tiers du milieu, est fait de 2 copies au tiers de la taille : environ 0,63, moins qu'une ligne, mais plus qu'une poignée de points.

Quand von Koch a décrit sa courbe en 1904, les formes de ce genre passaient pour des « monstres » mathématiques. En 1975, Benoît Mandelbrot leur a donné un nom, les fractales, et a montré que leur dimension fractionnaire mesure quelque chose de réel : non pas la taille, mais la rugosité, la quantité de nouveaux détails qui apparaissent chaque fois qu'on regarde de plus près.