Comment une infinité de nombres peut-elle donner une somme finie ?

Une infinité de nombres peut donner une somme finie quand chacun est une fraction fixe du précédent, et que cette fraction est plus petite que 1. Une telle somme s'appelle une série géométrique : on part d'un nombre et on le multiplie sans cesse par la même raison. Si la raison est plus petite que 1, les termes rétrécissent vers zéro et le total se stabilise sur une limite. Si elle est plus grande que 1, le total grandit sans fin.

L'exemple classique vient d'une marche. Avant d'atteindre une porte, tu dois parcourir la moitié de la distance, puis la moitié de ce qui reste, puis la moitié de cette moitié, à l'infini. Zénon d'Élée s'en est servi il y a 2 500 ans pour dérouter les Grecs, qui pensaient qu'une liste infinie de nombres positifs devait forcément donner l'infini. Mais toutes ces moitiés réunies ne font que la distance fixe jusqu'à la porte. Additionner les premiers termes le montre, par un petit calcul : une moitié, puis trois quarts, puis sept huitièmes, qui se rapprochent du tout sans jamais le dépasser.

La même idée tranche une dispute célèbre. Tout nombre décimal périodique est une série géométrique déguisée, et c'est ainsi qu'on prouve que 0,999... ne vaut pas presque 1, mais exactement 1. La preuve figure dans le livre d'algèbre de Leonhard Euler en 1770, et pourtant, quand le spécialiste de l'enseignement David Tall a interrogé ses étudiants, la plupart ont d'abord refusé d'y croire.

Avec une raison supérieure à 1, on obtient l'inverse : doubler les grains de blé sur les 64 cases d'un échiquier donne plus de 18 trillions de grains.