Comment un hôtel infini déjà plein peut-il loger un client de plus ?

En demandant à chaque client de monter d'une chambre. Imagine un hôtel aux chambres numérotées 1, 2, 3 et ainsi de suite sans fin, toutes occupées. Quand un client de plus arrive, celui de la chambre 1 passe dans la 2, celui de la 2 dans la 3, et plus généralement chacun passe de la chambre n à la chambre n+1. Comme il n'y a pas de dernière chambre, personne ne se retrouve sans lit, et la chambre 1 est désormais libre pour le nouveau venu. Cette expérience de pensée a été introduite par le mathématicien David Hilbert dans une conférence de 1924-1925, puis popularisée par le livre de George Gamow de 1947, Un, deux, trois... l'infini.

La même astuce se généralise. Si k nouveaux clients arrivent, chaque client passe simplement de la chambre n à la chambre n + k, libérant exactement k chambres au départ. Et si un bus entier de nouveaux clients arrive, infiniment nombreux, l'hôtel s'en sort encore : chaque client actuel passe de la chambre n à la chambre 2n, remplissant instantanément seulement les chambres paires et laissant toutes les chambres impaires, elles-mêmes en nombre infini, vides pour les nouveaux venus. On peut aller plus loin encore : une infinité de bus, chacun rempli d'une infinité de passagers, peuvent tous être logés, et de plusieurs façons. Certaines, comme la méthode des « puissances de nombres premiers », laissent vides des chambres comme la 15 ou la 847 ; d'autres remplissent l'hôtel entièrement.

Ce qui rend la chose possible, et si déroutante, c'est qu'avec l'infini, les chambres impaires ne sont pas moins nombreuses que toutes les chambres. Dans le Grand Hôtel de Hilbert, le nombre de chambres impaires n'est pas inférieur au nombre total de chambres : mathématiquement, les deux ensembles ont le même cardinal, la même « taille » au sens technique, même si l'un ressemble exactement à la moitié de l'autre.

Ce n'est pas qu'un jeu d'hôtel imaginaire. Le même raisonnement explique quelque chose de vraiment surprenant à propos des nombres ordinaires : les nombres rationnels (toutes les fractions) contiennent chaque nombre entier comme sous-ensemble, et pourtant il n'y a pas plus de nombres rationnels que de nombres entiers, car on peut les associer un par un, exactement comme les clients de Hilbert changeant de chambre.