Comment le coureur le plus rapide peut-il rattraper une tortue, s'il doit d'abord atteindre l'endroit où elle était ?

Il la rattrape parce qu'une infinité d'étapes de plus en plus courtes peut former une distance finie, parcourue en un temps fini. Mais il a fallu plus de deux mille ans aux mathématiciens pour le dire rigoureusement.

L'énigme vient de Zénon d'Élée, un philosophe grec du Ve siècle av. J.-C. Donne 100 mètres d'avance à une tortue. Quand Achille atteint son point de départ, la tortue a avancé de, disons, 2 mètres. Quand il a parcouru ces 2 mètres, elle a encore bougé, un peu moins. Chaque fois qu'Achille arrive là où était la tortue, elle est déjà ailleurs. Donc, selon Zénon, il lui faut une infinité d'étapes et il ne la rattrapera jamais.

Zénon ne se trompait pas sur les courses à pied. Il voulait défendre son maître Parménide, pour qui la réalité est une et immuable, et nos sens trompeurs. Si le bon sens sur le mouvement mène à l'absurde, peut-être que le mouvement lui-même est une illusion.

Un critique antique, Diogène le Cynique, s'est contenté de se lever et de marcher. Mais cela montre que la conclusion est fausse, pas où l'argument pèche. La réponse mathématique est venue avec la notion de limite, rendue rigoureuse seulement au XIXe siècle : 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16, et ainsi de suite, donne exactement 1. Certains philosophes pensent toutefois que cela règle le calcul sans répondre à la question plus profonde de Zénon : comment achever une infinité de tâches ?