Comment un ensemble peut-il avoir un nombre infini de points mais une longueur nulle ?

Parce que compter des points et mesurer une longueur sont deux façons différentes de dire la taille d'un ensemble, et elles n'ont pas à s'accorder. L'exemple classique est l'ensemble de Cantor. Prends un segment de 0 à 1 et efface son tiers central ouvert : il reste deux morceaux. Efface le tiers central de chacun : il en reste quatre. Continue indéfiniment. Ce qui survit a une longueur nulle, et pourtant contient autant de points que le segment de départ.

À chaque étape, tu retires de la longueur, et si tu additionnes tout ce que tu as effacé, cela correspond exactement à la longueur totale du segment de départ. Ce qui reste a donc une longueur nulle au sens habituel : les mathématiciens disent qu'il a une « mesure nulle ». Et pourtant, de façon stupéfiante, l'ensemble de Cantor est non dénombrable, ce qui signifie qu'il contient exactement autant de points que le segment de droite entier dont tu es parti. Un ensemble peut n'occuper aucun espace du tout et contenir quand même une infinité de points, une infinité qu'on ne pourrait jamais énumérer.

L'ensemble est aussi auto-similaire : il ressemble exactement à deux copies réduites de lui-même, l'une compressée dans le tiers gauche de la ligne et l'autre dans le tiers droit. Ce genre de structure, qui se répète à chaque échelle peu importe à quel point tu zoomes, fait de l'ensemble de Cantor l'exemple prototype de ce que les mathématiciens appellent aujourd'hui une fractale.

Il a été découvert en 1874 par Henry John Stephen Smith, même s'il porte le nom de Georg Cantor, qui l'a mentionné en passant en 1883 ; en étudiant ce genre d'ensembles, Cantor et d'autres ont posé les bases de la topologie moderne. Le nom de l'ensemble est un rappel discret que le crédit en mathématiques ne va pas toujours à la première personne qui a trouvé quelque chose.