Pourquoi certaines équations n'ont-elles pas de formule ?
Un adolescent a réglé une question vieille de 350 ans sur les équations en inventant une nouvelle branche des mathématiques. Il est mort en duel à vingt ans, et son travail a attendu dix ans avant d'être lu.
▶ Lancer l'histoireParce que, pour les équations générales de degré cinq ou plus, une telle formule ne peut pas exister. Tu as sans doute appris la formule pour ax² + bx + c = 0, et des formules similaires pour le troisième degré (cubiques) et le quatrième degré (quartiques) ont été trouvées au XVIe siècle. Mais le théorème d'Abel-Ruffini montre qu'il n'existe pas de solution par radicaux pour les équations générales de degré cinq ou plus : aucun moyen d'écrire les solutions avec seulement des opérations arithmétiques et des racines, aussi longtemps qu'on cherche.
La personne qui a expliqué pourquoi est au cœur d'une des histoires les plus étranges des mathématiques. Évariste Galois, encore adolescent, a établi la condition exacte qui détermine si un polynôme donné peut être résolu par radicaux. Pour y parvenir, il a dû inventer un tout nouvel outil : il a créé le mot « groupe » et bâti ce qu'on appelle aujourd'hui la théorie des groupes, en étudiant les symétries selon lesquelles les solutions d'une équation peuvent être permutées sans changer l'équation elle-même. L'existence d'une formule dépend de la possibilité de décomposer ce groupe de symétries d'une façon bien ordonnée, et pour la quintique générale, c'est impossible.
Galois n'a jamais pu profiter de sa découverte. Républicain convaincu, il a été arrêté à plusieurs reprises pour son militantisme, et peu après un séjour en prison, il s'est battu en duel pour des raisons qui restent obscures ; une lettre écrite cinq jours avant sa mort fait allusion à une histoire d'amour brisée. Il a reçu une balle dans l'abdomen, abandonné par ses propres témoins, et il est mort le lendemain à vingt ans. Ses derniers mots à son frère furent : « Ne pleure pas, Alfred ! J'ai besoin de tout mon courage pour mourir à vingt ans ! »
Il a fallu dix ans avant que quelqu'un ne remarque ce qu'il avait laissé derrière lui. En 1842, le mathématicien Joseph Liouville s'est mis à étudier les papiers non publiés de Galois et en a reconnu la valeur l'année suivante, et la théorie des groupes a fini par modéliser les cristaux, l'atome d'hydrogène et trois des quatre forces fondamentales, et par devenir centrale en cryptographie à clé publique.
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Récap
Aucune formule n'utilisant que des racines et l'arithmétique ne peut résoudre une équation générale de degré cinq ou plus ; Galois a montré que la réponse dépend du groupe de symétries de ses solutions.
Le fait surprenant · Galois a résolu un problème vieux de 350 ans alors qu'il était adolescent, a inventé le mot « groupe », puis est mort en duel à vingt ans, son travail restant méconnu pendant encore dix ans.
Sources (3)
Pas de source, pas d'affirmation. Chacun des 17 faits de cette leçon renvoie à au moins une de ces sources.