Quelle forme enclôt la plus grande surface pour un périmètre donné ?

Parmi toutes les formes que tu pourrais dessiner avec une boucle de longueur donnée, le cercle entoure toujours la plus grande surface. C'est l'inégalité isopérimétrique : pour une courbe fermée de longueur L entourant une aire A, on a toujours 4πA ≤ L², et les deux côtés ne sont égaux que lorsque la courbe est un cercle. Aucune autre forme, aussi astucieuse soit-elle, ne fait mieux.

Une légende raconte la même idée sous forme d'histoire, un problème de géométrie déguisé. Didon, la reine légendaire qui aurait fondé Carthage, aurait négocié avec les habitants locaux pour obtenir seulement autant de terre qu'une seule peau de bœuf pouvait en entourer. Plutôt que d'étaler la peau à plat, elle l'aurait découpée en fines lanières pour entourer une colline entière, appelée depuis Byrsa, ce qui signifie « peau ». Les mathématiciens ont donné son nom à une proche cousine de la question : le problème de Didon cherche la plus grande surface qu'on peut enclore entre une ligne droite et un arc courbe dont les extrémités reposent sur cette ligne.

Les mathématiciens grecs anciens savaient déjà que le cercle était la réponse, mais savoir n'est pas la même chose que prouver : une démonstration rigoureuse n'est arrivée qu'au XIXe siècle, quand le géomètre suisse Jakob Steiner a fait les premiers vrais progrès en 1838, en montrant que si une forme résolvait le problème, ce devait être le cercle. D'autres mathématiciens ont complété la preuve plus tard.

La nature n'a pas besoin de preuves ; elle se contente de s'installer toute seule dans la forme la plus efficace. Une goutte d'eau prend une forme ronde parce que la tension superficielle la pousse vers la forme qui minimise sa surface pour la quantité d'eau qu'elle contient, et cette forme est une sphère, la version en trois dimensions de la même règle isopérimétrique qui fait du cercle la forme reine en deux dimensions.