Comment Descartes a-t-il transformé les formes en équations ?

En donnant des nombres à chaque point. En 1637, René Descartes publie un essai intitulé La Géométrie, l'une des trois annexes de son Discours de la méthode. Sa méthode, aujourd'hui appelée géométrie analytique ou géométrie cartésienne en son honneur, étudie la géométrie à l'aide d'un système de coordonnées : chaque point du plan reçoit une paire de nombres, ses coordonnées, si bien qu'une forme peut être définie, et calculée, sous forme d'équation.

Le principe est d'une simplicité trompeuse. Place deux droites numériques à angle droit, et chaque point du plan reçoit un nombre horizontal et un nombre vertical, un x et un y. Un cercle, une droite, une courbe : chacune devient une relation entre x et y qu'on peut écrire et calculer, plutôt que seulement dessiner et mesurer. C'est ce seul geste qui a fait de la géométrie analytique le socle de la plupart des géométries qui ont suivi, et pourquoi on s'en sert aujourd'hui de la physique et de l'ingénierie jusqu'aux fusées, aux statistiques et à l'économie.

Descartes n'était pas tout à fait le premier, et il n'était pas seul. Bien avant lui, le mathématicien grec Apollonius de Perga avait utilisé des lignes de référence d'une manière étonnamment proche des coordonnées, assez proche pour qu'on considère parfois qu'il a anticipé Descartes d'environ 1800 ans, même s'il n'a jamais laissé les équations définir les courbes elles-mêmes ; les courbes venaient d'abord, et l'échafaudage de coordonnées était ajouté après coup. En Perse, au XIe siècle, Omar Khayyam s'est approché encore davantage, résolvant des équations cubiques par la géométrie et réduisant l'écart entre les deux domaines. Et à l'époque même de Descartes, le mathématicien français Pierre de Fermat a développé la même idée de façon indépendante, faisant circuler son propre manuscrit à Paris juste avant la parution du livre de Descartes.

Les deux hommes abordaient l'idée dans des directions opposées. Fermat partait d'une équation algébrique et trouvait la courbe qu'elle décrivait. Descartes partait d'une courbe et en déduisait l'équation, un chemin qui l'a obligé à affronter des équations bien plus compliquées, de degré plus élevé. Son essai, plein de trous dans les raisonnements et d'équations compliquées, a d'abord été mal reçu ; il n'a été reconnu qu'après une traduction latine commentée par van Schooten, parue en 1649. Aujourd'hui, la géométrie analytique est le socle de la plupart des domaines modernes de la géométrie.