Pourquoi aucune carte plate ne respecte-t-elle à la fois angles et surfaces ?

Certaines cartes rendent chaque angle exactement juste. Si deux routes sur Terre se croisent à 39 degrés, une carte conforme les montrera se croiser à exactement 39 degrés aussi, peu importe où elles se trouvent sur le globe. C'est pourquoi les marins et les pilotes utilisent des cartes conformes : un cap de boussole tracé comme une ligne droite reste vrai sur tout le trajet, et sur une carte de Mercator, toute ligne à direction de boussole constante (une loxodromie) est effectivement une ligne droite qu'on peut suivre.

Mais cette perfection a un prix, et ce n'est pas une option. En 1775, le mathématicien Leonhard Euler a prouvé qu'une carte conforme, qui préserve chaque angle, ne peut jamais aussi préserver les surfaces. Et une carte à surfaces égales, qui montre les pays dans leurs vraies tailles relatives, ne peut jamais être conforme non plus. On ne peut pas avoir les deux sur la même carte plate. Ce n'est pas une limite de la technologie actuelle ou du savoir-faire des cartographes : cela découle du « theorema egregium » de Carl Gauss, publié en 1827, un résultat profond de géométrie montrant qu'une surface courbe comme une sphère ne peut tout simplement pas être aplatie sans déformer soit ses angles, soit ses surfaces, quelque part.

Ainsi, chaque carte conforme triche discrètement sur la taille. Elle garde les petites formes correctement proportionnées partout où on regarde, mais l'échelle, le nombre de kilomètres réels que représente un centimètre de carte, change d'un endroit à l'autre. Sur une carte de Mercator, par exemple, l'échelle change avec la latitude, et c'est pour cela qu'on y ajoute souvent une barre d'échelle par latitude : impossible de comparer à l'œil la taille de deux régions éloignées. Les cartographes acceptent ce compromis délibérément. Sur une carte à grande échelle d'une petite zone, comme un plan de ville, les figures sont assez petites pour paraître presque fidèles, et les cartes marines, aéronautiques ou météo (celles de la pression de l'air) utilisent des projections conformes parce que les directions y comptent. Pour les cartes du monde entier, où l'échelle varie bien davantage, les cartographes récents préfèrent en général d'autres projections.