Pourquoi les nombres premiers ne s'épuisent-ils jamais ?
Un raisonnement de deux lignes, écrit vers 300 av. J.-C., prouve qu'il n'existe pas de plus grand nombre premier, et il tient toujours.
▶ Lancer l'histoireLes nombres premiers ne s'épuisent jamais, parce que n'importe quelle liste de nombres premiers, aussi longue soit-elle, permet d'en fabriquer un qui n'y figure pas. Euclide l'a montré vers 300 av. J.-C., dans son livre, les Éléments.
Un nombre premier est un entier plus grand que 1 qui n'est pas le produit de deux entiers plus petits, comme 2, 3, 5 ou 7. Voici l'astuce d'Euclide. Prends ta liste de nombres premiers, multiplie-les tous entre eux, et ajoute 1. Soit ce nouveau nombre est premier, et tu as trouvé un nombre premier absent de ta liste ; soit il ne l'est pas, et il est divisible par un certain nombre premier. Mais ce nombre premier ne peut pas être dans ta liste : chaque nombre de la liste divise exactement le produit, il devrait donc aussi diviser le 1 qui reste, et aucun nombre premier ne divise 1. Dans les deux cas, ta liste était incomplète.
Étape 1: Prends une liste de nombres premiers
Aussi longue que tu veux.
Étape 2: Multiplie-les tous, ajoute 1
Appelle le résultat q.
Étape 3: Si q est premier
C'est un nombre premier absent de ta liste.
Étape 4: Si q n'est pas premier
Ses facteurs premiers ne peuvent pas être dans la liste : ils devraient diviser 1.
Étape 5: Aucune liste n'est jamais complète
Il y a donc une infinité de nombres premiers.
Puisque toute liste est incomplète, il n'existe pas de plus grand nombre premier. Ça n'empêche pas les gens de chasser le plus grand nombre premier connu. Le record actuel, trouvé en octobre 2024 sur un ordinateur prêté par un chercheur nommé Luke Durant, compte plus de 41 millions de chiffres.
Quiz
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Récap
Multiplie tes nombres premiers, ajoute 1 : ce qui divise le résultat est un nombre premier que tu n'avais pas.
Le fait surprenant · Le plus grand nombre premier connu, trouvé en 2024, compte 41 024 320 chiffres.
Sources (3)
Pas de source, pas d'affirmation. Chacun des 14 faits de cette leçon renvoie à au moins une de ces sources.