Pourquoi un point de ton café finit-il toujours là où il était ?

À cause d'une règle de topologie appelée le théorème du point fixe de Brouwer, qui dit que remuer, faire tourbillonner ou mélanger continuellement le liquide d'une tasse ne peut jamais envoyer absolument tous les points ailleurs : une fois le liquide au repos, au moins un point se trouve exactement là où il était au départ.

Le théorème serait né de l'observation d'une tasse de café par le mathématicien L. E. J. Brouwer. En remuant pour dissoudre un morceau de sucre, il semblait toujours y avoir un point sans mouvement, et il en a conclu qu'à tout moment, un point de la surface ne bouge pas. L'affirmation est subtile, cependant : le point fixe n'est pas forcément l'endroit qui paraît immobile, puisque le centre du tourbillon visible dérive lui-même légèrement. Le théorème garantit seulement qu'un point, quelque part, finit à sa place de départ.

Dans sa forme la plus simple, le théorème affirme que toute fonction continue d'un disque fermé vers lui-même possède au moins un point fixe, un point que la fonction renvoie vers lui-même. Brouwer a démontré la version générale pour les fonctions continues en 1911, en s'appuyant sur un cas différentiable démontré un an plus tôt par Jacques Hadamard, et sur des travaux antérieurs en équations différentielles menés par des mathématiciens français autour d'Henri Poincaré et Charles Émile Picard.

Le théorème apparaît dans des situations étonnamment ordinaires. Froisse l'une de deux feuilles de papier quadrillé identiques et pose-la sur la feuille à plat, en restant à l'intérieur de ses bords : au moins un point de la feuille froissée se retrouve encore exactement au-dessus du point aux mêmes coordonnées sur la feuille à plat. Étale une carte d'un pays sur une table à l'intérieur de ce même pays, et il existe toujours un point « Vous êtes ici » sur la carte qui se trouve exactement au-dessus de l'endroit réel qu'il représente.