Une majorité peut-elle préférer A à B, B à C, et C à A ?

Oui — et ce n'est pas une question piège. Imagine les électeurs d'un comté fictif qui doivent choisir entre le maire sortant Alex, sa rivale Béatrice, et un troisième candidat indépendant, Charlie. Selon la manière dont chaque électeur classe les trois, une majorité claire peut préférer Alex à Béatrice, une autre majorité préférer Béatrice à Charlie, et une troisième majorité préférer Charlie à Alex — alors même que le classement de chaque électeur, pris individuellement, est parfaitement rationnel et cohérent. En combinant les trois majorités, on obtient une boucle : Alex bat Béatrice qui bat Charlie qui bat Alex, sans aucun candidat capable de battre tous les autres en face-à-face.

C'est le paradoxe de Condorcet, du nom du mathématicien et philosophe politique français qui l'a formalisé à la fin du XVIIIᵉ siècle — bien que le philosophe et théologien catalan Raymond Lulle ait découvert le même problème cinq cents ans plus tôt en réfléchissant à l'élection des responsables de l'église, ses écrits restant oubliés jusqu'au XXIᵉ siècle. Le paradoxe se révèle être un cas particulier d'un résultat bien plus vaste, le théorème d'impossibilité d'Arrow, qui montre que tout système transformant des classements individuels en décision collective doit soit se contredire, soit conférer le pouvoir à un seul dictateur, soit utiliser plus d'informations qu'un simple classement.

En pratique, ces cycles sont plus rares que l'exemple à trois électeurs ne le laisse croire — un modèle réaliste des grandes élections donne une probabilité largement sous 1 %, et une analyse de 883 duels à trois candidats tirés d'élections réelles à bulletins classés de l'Electoral Reform Society n'a trouvé un cycle que dans 0,7 % des cas. Mais cela arrive : lors de l'élection municipale de 2021 dans le quartier 2 de Minneapolis, les préférences des électeurs entre trois candidats ont bouclé sur elles-mêmes, sans qu'aucun ne batte les deux autres.

Le paradoxe n'est pas qu'une curiosité de mathématiciens — c'est aussi un outil. Dans les parlements, c'est la logique derrière l'« amendement pilule empoisonnée » : provoquer délibérément un vote circulaire pour faire échouer un texte qui serait sinon adopté. Et cela explique pourquoi, quand un cycle se cache dans les bulletins, il suffit d'ajouter ou de retirer un candidat perdant pour changer le vainqueur, sans qu'aucun électeur ait changé d'avis.