Comment une théorie de la chaleur a-t-elle fini par décortiquer la musique ?

Grâce à une astuce qui marche pour n'importe quelle onde périodique. En 1807, le mathématicien français Joseph Fourier cherchait à résoudre l'équation de la chaleur dans une plaque de métal. Son idée : modéliser une source de chaleur compliquée comme une combinaison d'ondes sinus et cosinus simples, puis construire la solution à partir des solutions simples correspondant à chacune de ces ondes. Or un son est lui aussi une onde périodique : l'analyse de Fourier peut décomposer une note de musique échantillonnée en ondes simples de fréquences différentes, et en remélangeant ces ondes, on resynthétise le même son.

C'est ce qui permet de comprendre pourquoi un violon et une trompette jouant la même note sonnent différemment. La note d'accord d'un orchestre est une combinaison de 440 Hz, 880 Hz, 1 320 Hz, 1 760 Hz et ainsi de suite, et chaque instrument produit une combinaison différente de ces fréquences ; l'équilibre entre elles pèse lourd dans le son caractéristique de chaque instrument. L'analyse de Fourier lit cette recette directement dans un enregistrement. Fourier, lui, avait annoncé sa découverte à l'Académie des sciences en 1807 et publié sa théorie complète de la chaleur en 1822.

Les collègues de Fourier n'ont pas été immédiatement convaincus. Lorsqu'il a soumis un mémoire ultérieur en 1811, le comité de lecture, qui comprenait les mathématiciens Lagrange et Laplace, a jugé que sa façon d'établir et de résoudre ces équations laissait encore à désirer en généralité et en rigueur. Il a fallu des mathématiciens plus tardifs, dont Peter Gustav Lejeune Dirichlet et Bernhard Riemann, pour asseoir les résultats de Fourier sur des bases plus solides, car le XIXe siècle naissant n'avait pas encore de définition précise de ce qu'est une fonction ou une intégrale.

Une fois la méthode validée, elle a largement dépassé la chaleur et le son. Comme tant de phénomènes physiques se ramènent, une fois simplifiés, à des équations dont les solutions de base sont des ondes sinusoïdales, le même procédé qui retrouve les fréquences cachées dans une note de musique est aussi devenu, en informatique moderne, la transformée de Fourier rapide : un algorithme efficace pour extraire ces fréquences rapidement.