Pourquoi la racine carrée de 2 ne peut-elle jamais s'écrire comme une fraction ?

La racine carrée de 2 ne peut pas être une fraction, parce que le supposer mène à une contradiction : un nombre qui devrait être à la fois pair et impair. Les nombres de ce genre, qu'on ne peut pas écrire comme un entier divisé par un autre, sont dits irrationnels. Leurs décimales ne s'arrêtent jamais et ne tombent jamais dans un motif qui se répète. La racine carrée de 2, environ 1,4142, est la longueur de la diagonale d'un carré de côté 1, et c'est probablement le premier nombre dont on a su qu'il était irrationnel.

La preuve est un petit bijou. Suppose que la diagonale et le côté de ce carré puissent tous deux se mesurer par des nombres entiers sans facteur commun. Le théorème de Pythagore force alors ces deux nombres à être pairs : ils partagent donc le facteur 2. Cette contradiction prouve qu'une telle fraction n'existe pas. Autrement dit, aucune unité de longueur, aussi minuscule soit-elle, ne mesure à la fois le côté et la diagonale un nombre entier de fois.

La découverte est attribuée à un disciple de Pythagore, peut-être Hippase, au Ve siècle av. J.-C. Elle a ébranlé une école pour qui nombres et géométrie allaient de pair, et la légende raconte qu'Hippase a été jeté par-dessus bord pour ça, ou peut-être simplement exilé. Les Grecs appelaient ces rapports alogos : inexprimables.

Tu as ce nombre entre les mains tous les jours. Le papier A4 l'utilise : une feuille dont les côtés sont dans ce rapport peut être coupée en deux feuilles exactement de la même forme.