Pourquoi un test positif « fiable à 99 % » veut-il souvent dire si peu ?

Parce que ta probabilité d'être malade ne dépend pas seulement du test : elle dépend aussi de la rareté de la maladie au départ. Le théorème de Bayes est la règle qui combine les deux. Il transforme « à quelle fréquence le test est-il positif chez un malade ? » en la question qui t'intéresse vraiment : « quelle est la probabilité que je sois malade, sachant que mon test est positif ? »

Prends une maladie qui touche 1 % des gens et un test qui donne la bonne réponse 99 fois sur 100. Après un résultat positif, ta probabilité d'être malade n'est pas de 99 %. Elle est de 50 %. La raison : la foule des bien-portants est beaucoup plus nombreuse, et 1 % d'erreurs sur une foule immense produit à peu près autant de fausses alertes que le test ne trouve de vrais malades.

Le plus simple, c'est de raisonner avec des cotes. Les cotes après l'indice valent les cotes d'avant, multipliées par le rapport de vraisemblance, qu'on appelle aussi facteur de Bayes. Avant le test, la cote est de 1 contre 99. Le test dit « positif » 99 fois plus souvent chez un malade que chez une personne saine : la cote devient 99 contre 99, soit un contre un.

La règle porte le nom de Thomas Bayes, un pasteur presbytérien anglais qui ne l'a jamais publiée. Après sa mort en 1761, son ami Richard Price a mis ses notes en forme et les a fait lire devant la Royal Society en 1763. Deux siècles et demi plus tard, ce même calcul dit aux médecins et aux jurés de combien un indice doit vraiment les faire changer d'avis : un groupe sanguin partagé par 10 % d'une ville de 1 000 habitants désigne 100 personnes, et ne donne donc à lui seul que 1 % de chances de culpabilité, pas 90 %.